HDU1568-大数的Fibonacci(取对数技巧，通项公式)

Fibonacci

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Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

 

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

 

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

 

Sample Input

  
  

   
   0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40
  
  

 

Sample Output

  
  

   
   0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023
  
  

 

Author

daringQQ

 

Source

Happy 2007

 

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8600

 

HDU 1568 Fibonacci

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0( 其实我还是不明白这里，所以干脆加上也ac)
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

(遇到大数要取前几位的，都可以用这个技巧！避免溢出.)

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int fib[40];
int main()
{
    fib[1]=1;
    fib[0]=0;
    int i;
    for(i=2;i<21;++i)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    int n;
    double p,f;
    f=(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        if(n<21)
        {
            printf("%d\n",fib[n]);
            continue;
        }
        p=-0.5*log10(5.0)+n*1.0*log(f)/log(10.0)+log10(1.0-pow((1.0-sqrt(5.0)) / (1.0+sqrt(5.0)),n));
        p=p-floor(p);
        p=pow(10.0,p);
        while(p<1000)
            P*=10;
        printf("%d\n",(int)p);
    }
    return 0;
}