堆是什么？是一种特殊的完全二叉树，就像下面这棵树一样。
有没有发现这棵二叉树有一个特点，就是所有父结点都比子结点要小（注意：圆圈里面的数是值，圆圈上面的数是这个结点的编号，此规定仅适用于本节）。符合这样特点的完全二叉树我们称为最小堆。反之，如果所有父结点都比子结点要大，这样的完全二叉树称为最大堆。那这一特性究竟有什么用呢？
假如有
14
个数分别是
99
、
5
、
36
、
7
、
22
、
17
、
46
、
12
、
2
、
19
、
25
、
28
、
1
和
92
。请找出这
14个数中最小的数，请问怎么办呢？最简单的方法就是将这
14个数从头到尾依次扫一遍，用一个循环就可以解决。这种方法的时间复杂度是
O(14)
也就是
O(N)
。
[C]
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|
1
2
3
4
|
for
(i=1;i<=14;i++)
{
if
(a[ i]<min) min=a[ i];
}
|
现在我们需要删除其中最小的数，并增加一个新数
23
，再次求这
14
个数中最小的一个数。请问该怎么办呢？只能重新扫描所有的数，才能找到新的最小的数，这个时间复杂度也是
O(N)
。假如现在有
14次这样的操作（删除最小的数后并添加一个新数）。那么整个时间复杂度就是
O(14
2)
即
O(N
2)
。那有没有更好的方法呢？堆这个特殊的结构恰好能够很好地解决这个问题。
首先我们先把这个
14
个数按照最小堆的要求（就是所有父结点都比子结点要小）放入一棵完全二叉树，就像下面这棵树一样。
很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组叫做
h
的话，最小数就是
h[ 1]
。接下来，我们将堆顶的数删除，并将新增加的数
23
放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性，我们需要将新增加的数调整到合适的位置。那如何调整呢？
到此，还是不符合最小堆的特性，仍需要继续向下调整直到符合最小堆的特性为止。
向下调整的代码如下。
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
siftdown(
int
i)
//传入一个需要向下调整的结点编号i，这里传入1，即从堆的顶点开始向下调整
//当i结点有儿子的时候（其实是至少有左儿子的情况下）并且有需要继续调整的时候循环窒执行
while
( i*2<=n && flag==0 )
{
//首先判断他和他左儿子的关系，并用t记录值较小的结点编号
( h[ i] > h[ i*2] )
t=i*2;
else
t=i;
//如果他有右儿子的情况下，再对右儿子进行讨论
(i*2+1 <= n)
{
//如果右儿子的值更小，更新较小的结点编号
(h[ t] > h[ i*2+1])
t=i*2+1;
}
//如果发现最小的结点编号不是自己，说明子结点中有比父结点更小的
(t!=i)
{
swap(t,i);
//交换它们，注意swap函数需要自己来写
i=t;
//更新i为刚才与它交换的儿子结点的编号，便于接下来继续向下调整
}
else
flag=1;
//则否说明当前的父结点已经比两个子结点都要小了，不需要在进行调整了
}
我们刚才在对
23
进行调整的时候，竟然只进行了
3
次比较，就重新恢复了最小堆的特性。现在最小的数依然在堆顶为
2
。之前那种从头到尾扫描的方法需要
14
次比较，现在只需要
3
次就够了。现在每次删除最小的数并新增一个数，并求当前最小数的时间复杂度是
O(3)
，这恰好是
O(log
214)
即
O(log
2N)
简写为
O(logN)
。假如现在有
1
亿个数（即
N=1
亿），进行
1
亿次删除最小数并新增一个数的操作，使用原来扫描的方法计算机需要运行大约
1
亿的平方次，而现在只需要
1
亿
*log1
亿次，即
27
亿次。假设计算机每秒钟可以运行
10亿次，那原来则需要一千万秒大约115
天！而现在只要
2.7
秒。是不是很神奇，再次感受到算法的伟大了吧。
说到这里，如果只是想新增一个值，而不是删除最小值又该如何操作呢？即如何在原有的堆上直接插入一个新元素呢？只需要直接将新元素插入到末尾，再根据情况判断新元素是否需要上移，直到满足堆的特性为止。如果堆的大小为
N
（即有
N
个元素），那么插入一个新元素所需要的时间也是O(logN)
。例如我们现在要新增一个数
3
。
先将 3 与它的父结点25 比较，发现比父结点小，为了维护最小堆的特性，需要与父结点的值进行交换。交换之后发现还是要比它此时的父结点5 小，因此需要再次与父结点交换。至此又重新满足了最小堆的特性。向上调整完毕后如下。
向上调整的代码如下。
15
//传入一个需要向上调整的结点编号i
flag=0;
//用来标记是否需要继续向上调整
(i==1)
return
;
//如果是堆顶，就返回，不需要调整了
//不在堆顶 并且 当前结点i的值比父结点小的时候继续向上调整
(i!=1 && flag==0)
{
//判断是否比父结点的小
(h[ i]<h[ i/2])
swap(i,i/2);
//交换他和他爸爸的位置
else
//表示已经不需要调整了，当前结点的值比父结点的值要大
i=i/2;
//这句话很重要，更新编号i为它父结点的编号，从而便于下一次继续向上调整
}
说了半天，我们忽略一个很重要的问题！就是如何建立这个堆。我们周一接着说。
BTW，《啊哈！算法》系列，坐在马桶上都能读懂的算法入门书，已经整理出版，下周一将是最后一次在线更新啦（把堆说完）。各位喜欢《啊哈！算法》的朋友要去买一本搜藏哦
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